Численные методы. Метод итераций.

[Алексей_2012]

Ребят, всем привет. Физик нам задал задание на решение функции численным методом. Что -то рассказал про точность, но не показал примера решения, а заданий 25 штук подобных.

1) каким боком это относится к физике???
2) покажите пример решения, пожалуйста, мне это еще кодить потом и 24 подобных примера решать.


((x^4)-8)/(х+1)^4

Заранее спасибо. Времени у меня до завтра, до утра, надеюсь на вашу помощь.

[p51x]

1) каким боком это относится к физике???

Наипримейщем.

покажите пример решения, пожалуйста, мне это еще кодить потом и 24 подобных примера решать.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C...86%D0%B8%D0%B8
http://planetcalc.ru/2824/
http://eco.sutd.ru/Study/Informat/Iter.html
http://www.machinelearning.ru/wiki/i...86%D0%B8%D0%B9
http://www.simumath.net/library/book...ons_Iterations

[Алексей_2012]

((x^4)-8)/(х+1)^4 = С

с=-5, .... -вводится с клавиатуры, как я понял.

сказал решить для -5 на бумаге.

Как-то он объяснил все на графике.

Рассказал что-то про сходимость и расходимость и показал на нем. Но не показал как решать, а без знания алгоритма не смогу понять как писать прогу.

онлайн калькулятор немного не то, там написан шаг какой-то, и написан ответ. Мне нужно понять как это все получилось и что значит -5

[tsar_]

Не знаю, утро закончилось или нет, но все же добавлю Excel-файлик, в котором ваше уравнение решается методом Ньютона.
В экселе все не разжевывал, так что если еще актуально и будут вопросы, обращайтесь.

==================
Невнимательно прочитал название темы.
Добавил в файлик решение методом итераций.

[Алексей_2012]

Спасибо большое, но не могли бы вы дать словесный алгоритм того, что происходит в файле, а то в формуле даже не очень разобрался...почему степень 1/3? Где заданная точность вычисления? И как сделать так, чтоб вычислялось с -5?

=((F29^4-8)/($E$2*(F29+1)))^(1/3)-1

[tsar_]

ОК.
По методу итераций.

Вот есть у вас выражение ((x^4)-8)/(х+1)^4 = С.

Приведем его к православному виду F(X)=0: ((x^4)-8)/(х+1)^4-С=0.

Далее согласно методу итераций функцию F(X)=0 нужно переписать в виде X=G(X), т.е. выковырять переменную Х из вашего выражения. Способов выковырять Х много, поэтому G(X) может быть записана по-разному. Я поигрался с вашим выражением и получил:
Х = ((Х^4-8)/(C*(X+1)))^(1/3)-1.

Соответственно G(X) = ((Х^4-8)/(C*(X+1)))^(1/3)-1.

Теперь, собственно, итерации:
1. Задаем Xi
2. Вычисляем G(Xi)
3. Приравниваем X(i+1) = G(Xi)
4. goto п.1

По поводу точности: обычно задают, например, эпсилон=0.0001 и на каждой итерации проверяют условие |Xi-X(i-1)| <= эпсилон.

Ну и еще я не проверял в экселе условие сходимости итераций, а то они могут и расходиться.

Коэффициент С можно менять в ячейке Е2.

[Алексей_2012]

А как проверить это условие и чтоб будет при расхождении? Точность задать не получится?

[Аватар]

Можно в многочлен преобразовать, умножив на знаменатель левую и правую часть и получив многочлен 4-ой степени. Поиграться, возможно удастся разложить на множители. Если не ошибаюсь для него алгебраическое решение есть. Тогда и проги не нужно

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3...B5%D0%BD%D0%B8

[tsar_]

Сходите все-таки по ссылкам из второго поста, я ж нового ничего не выдумываю.

А как проверить это условие и чтоб будет при расхождении?

Говорят, что условие сходимости в окрестности корня такое |G'(X)|<1; таки надо будет считать производную от G(X).

При расхождении может быть все, что угодно, кроме верно найденного корня.

Точность задать не получится?

Не понял. Точность надо задавать в любом случае, иначе как вы выйдете из цикла итераций в случае сходящегося поиска?

[Алексей_2012]

А вот здесь, если не ошибаюсь, не так же решается.