"Парадокс (проблема) двух конвертов"

[Alar]

В различных вариациях и формулировках она известна математикам с 1930 года, хотя именно в облике двух конвертов была описана только в конце 1980-х.

Итак, играем. Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако вычисление средней ожидаемой "стоимости" второго конверта говорит об ином.


В идеале конверты должны быть одинаковыми, дабы исключить отвлекающие от сути проблемы рассуждения игрока о том, в какой из двух конвертов ведущий захотел бы положить большую сумму, а в какой – меньшую (фото с сайта Wikimedia Commons).

В идеале конверты должны быть одинаковыми, дабы исключить отвлекающие от сути проблемы рассуждения игрока о том, в какой из двух конвертов ведущий захотел бы положить большую сумму, а в какой – меньшую (фото с сайта Wikimedia Commons).

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

[Utkin]

Ботва это все. Ваши рассуждения - всего лишь игра ума. Вскрыли Вы конверт, не вскрыли не имеет значение. Ошибка здесь в том, что оба конверта не связаны между собой абсолютно ничем. Следовательно описаные математические выкладки применять нельзя. Поэтому смена конверта не приведет к увеличению выигрыша.
Проверить просто. Напишите прогу и посмотрите результат. Это все шаманство, причем беспочвенное.

[JTG]

смена конверта не приведет к увеличению выигрыша

Согласен

Кстати тема напомнила http://programmersforum.ru/showthread.php?t=40188

[Alar]

Сообщение от Utkin

Ботва это все. Ваши рассуждения - всего лишь игра ума. Вскрыли Вы конверт, не вскрыли не имеет значение. Ошибка здесь в том, что оба конверта не связаны между собой абсолютно ничем. Следовательно описаные математические выкладки применять нельзя. Поэтому смена конверта не приведет к увеличению выигрыша.
Проверить просто. Напишите прогу и посмотрите результат. Это все шаманство, причем беспочвенное.

Ага. зацитировал текст. так как рассуждения не мои. Вот еще несколько цитат.

Я с вами абсолютно соглашусь. И отмечу вероятность выигрыша в 100%. А для того чтобы не расстраивать игрока, необходимо не вскрывать 2 конверт Если есть желание до придумывать что-нибудь на эту тему. Как это делают ученые:

Сам Дерек (ключевая фигура в данном деле) признаёт, что первый намёк на решение парадокса возник не у него, а у профессора из Стэнфорда Томаса Ковера (Thomas M. Cover), признанного специалиста по теории информации и статистике. В 2003 году Эбботт работал в Британии (кстати, на своей родине). И вот как-то, обедая вместе с Ковером, он обсуждал с ним загадку двух конвертов. Томас и предложил оригинальную стратегию выигрыша, превосходящую в эффективности даже правило "всегда меняй конверты".

Томас Ковер занимается теорией информации 35 лет. Неудивительно, что некоторые противоинтуитивные, казалось бы, вещи становятся для него просто понятными и очевидными (фото Stanford University).

Томас Ковер занимается теорией информации 35 лет. Неудивительно, что некоторые противоинтуитивные, казалось бы, вещи становятся для него просто понятными и очевидными (фото Stanford University).


Заключается она в следующем. Нужно менять или не менять конверты в каждом заходе случайным образом, но с вероятностью, которая зависит от суммы, увиденной в первом конверте. То есть чем меньше сумма в конверте А, тем с большей вероятностью следует сменить конверт и наоборот, несколько большая сумма в А говорит о том, что скорее следует оставить первый конверт себе.

полностью статья тут - http://www.membrana.ru/articles/simp...19/174500.html

[JTG]

Хрен их теория будет работать для сферического конверта в вакууме, в котором денег от 1 до бесконечности (а именно такой рассматривается в первоначальной задаче)
А если вести статистику и сравнивать с каждым новым открытым конвертом, тем более на бирже, где известны примерная минимальная и максимальная сумма - то в чём же тогда парадокс?

[Alex Cones]

Томас Ковер занимается теорией информации 35 лет.

35 лет только и делать, что открывать конверты...
Эта задача аналог старой задачи на кирпичи:
Вы стоите на стройке. Сверху падает кирпич. Вы его не видите. В каком случае больше шансов что в Вас попадет кирпич: если Вы стоите на одном месте или если вы меняете свое место после каждого падения кирпича (предполагается, что кирпичи падают бесконечно с некоторой паузой после каждого падения).
Я даже программу мастерил вероятность у меня была около 50%. В примере с конвертами та же песня. Конверта 2 значит вероятность, что будет открыт конверт номер n - 50%. Следовательно вероятность, что Вы получите денег m или 2m тоже 50/50.

[Levsha100]

Мда... Парадокс Монти Холла только немного видоизменненый...а вообще тупизм это все, ботаникам(математикам) делать нечего...

[pu4koff]

Одно можно сказать наверняка: если в первом конверте нечетное число долларей, то нужно брать второй конверт
Ведь не будет же в одном конверте 15$, а в другом 7,5$. Полюбому во втором конверте уже будет в 2 раза больше, ибо бамажки в 2,5$ пока вроде бы не печатают

[Alex Cones]

А может там в центах?

[Utkin]

А в чем собственно парадокс? В том что Вам на халяву дают конверт с баксами?