0,(9)=1 ?

[gusluk]

Utkin, тогда получается 3*1/3 <>1/3*3? Почему?

[Utkin]

Не понял, почему так получается ? Вроде как равно. Хотя наверно не равно, а эквивалентно... Операции вроде не могут быть равными, а только эквивалентными (то есть приводящими к одному результату)... Но не уверен, не спец я.
Если Вы имеете ввиду Википедию, то там как раз обыгрывается этот момент:

Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0.333… эквивалентно 0.999…. И 3 × 1⁄3 эквивалентно 1, поэтому 0.999… = 1

Но равенство и эквивалентность это не одно и тоже... А здесь считается, что да . Повторюсь еще раз - эксперимент не подтверждает такие изыскания...

[gusluk]

Потому что 1/3*3=0,333(3)*3=0,999(9), а 3*1/3=3/3=1, следовательно 0,999(9)=1.
Т.е. чтоб утверждать что 0.(9)<>1 необходимо опровергнуть равенство 3*1/3 <>1/3*3. Но это как частный случай, а в общем необходимо искать не доказательство равенства 0.(9)=1, а его опровержение. Пока убедительных доказательств не видел.
А в чем разница равенства и эквивалентности в математике?

[Utkin]

А кто Вас сказал, что 0,(3) может быть выражено через 1/3? Это приближение в результате которого возникает эпсилон в бесконечно малую величину стремящуюся к нулю. Но он нулю не равен...

Пока убедительных доказательств не видел.

Да все тот же эпсилон. 0,(9) отличается от 1 на бесконечно малую величину. Но если они равны, тогда бесконечно малая величина равна нулю. Но если умножить эту величину на число, умножение на которое должно приводить к единице, мы получим нуль. Таким образом нуль = единице. 2=1+1 2=0+0, 2=1+0 и так далее. Таким образом все числа равны нулю.
Собственно говоря в программирование так оно и есть, когда дело касается машинного эпсилона. Но у человека есть грибы и он способен понять что есть числа стремящиеся к нулю, но нулем не являющиеся .

[Smitt&Wesson]

Utkin, Вы путаете машинную точность с пределом точности.
Здесь надо учитывать порядок мантиссы.
Для машины числа 0,99999 и 0,(9) числа одинаковые, если порядок мантиссы машинного слова менее 5 и равны единице (по правилам округления).
А вот если брать пределы точности математической, то это разные числа.
Т.к. в пределе 0,(9) действительно даёт 1, а 0,99999 в пределе даёт именно 0,99999.

[Utkin]

Сообщение от Smitt&Wesson

Utkin, Вы путаете машинную точность с пределом точности.

Ничего я не путаю. Я утверждаю, что в таких расчетах точность должна быть абсолютной и предела ее быть не должно в принципе. Хоть в машине, хоть в человеке. Тогда никаких казусов не возникнет. Они просто станут невозможными.

ЗЫ. В тот момент когда Вы писали свой пост, я немного корректировал предыдущий...

[Smitt&Wesson]

Абсолютной точности не бывает и быть не может. Исходя из Вашей логики, 2*2 = 4 <> 2+2=4, а лишь эквивалентно? (Имеется в виду результат вычислений). Т.е. 4-ка полученная в результате умножения, не равна четвёрке, полученной в результате сложения, а лишь эквивалента ей?

[Utkin]

Сообщение от Smitt&Wesson

Абсолютной точности не бывает и быть не может. Исходя из Вашей логики, 2*2 = 4 <> 2+2=4, а лишь эквивалентно? (Имеется в виду результат вычислений). Т.е. 4-ка полученная в результате умножения, не равна четвёрке, полученной в результате сложения, а лишь эквивалента ей?

Результат равен, операции в данном случае эквивалентны. Вы же не будете утверждать что сложение равно умножению? Просто Вы рассматриваете частный случай, но 2 + 3 <> 2*3. Разве нет? Насчет момента - абсолютной точности не бывает - . Это вообще несерьезно. Если мы не можем представить ее, это не значит что ее нет. Также как невозможно представить бесконечно малое число, сразу следующее за нулем. Но это не значит что такого числа нет и никогда не было .
А что насчет решения от обратного? Когда утверждение о равенстве разных чисел, автоматически приводит к равенству всех чисел друг другу?

ЗЫ. Еще много приколов связано с тем, что люди обычно имеют привычку все округлять. Те же калькуляторы - все что не укладывается в разрядную сетку будет округлено. Спрашивается с какой стати? Понятно, что с практической точки зрения оно нужно. Но числа абстрактные сами по себе, соответственно - если округлений не было сплошь и рядом - подобные темы и не всплывали...

[Smitt&Wesson]

Не равенстве всех чисел между собой, а неравенстве чисел, полученных при помощи разных вычислений.
А как на счёт 2+2*2 и 2*2+2?
Мы говорим о пределе точности. Например, число пи - бесконечная дробь (если не ошибаюсь вычислена до 100млн-го знака и её период не найден). Если следовать логике абсолюта, то ни окружность, ни шар сущесвовать не могут, т.к. отношение длины окружности к диаметру не абсолютно точная величина?

[Сtrl]

0,(9) отличается от 1 на бесконечно малую величину

Это потому что вы так решили? Если нет - давайте математическое доказательство. А если это "здравый смысл" подсказывает, то значит вы просто не понимаете как это работает :)

число пи - бесконечная дробь (если не ошибаюсь вычислена до 100млн-го знака и её период не найден)

Он не просто не найден. Доказано, что этого периода вообще быть не может. И, кстати, известно 5 триллионов (5 000 000 000 000) знаков после запятой.