Эпсилон - это не то, что о нем думают

[Аватар]

Какие там бытовые. Как раз усложнили все до вселенских масштабов Как минимум до уровня кандидатской

[Stilet]

Как минимум до уровня кандидатской

Не удивительно что я не вьехал

[Arigato]

Идея в том, что если проводить вычисления до того момента, пока приращение не окажется меньше эпсилона, то это еще не гарантирует того, что получен результат с точностью эпсилон.

[type_Oleg]

Сообщение от Arigato

Идея в том, что если проводить вычисления до того момента, пока приращение не окажется меньше эпсилона, то это еще не гарантирует того, что получен результат с точностью эпсилон.

Да, я это и имел ввиду.
Все остальное у меня - просто иллюстрация.

[MooNDeaR]

Вот я в рядах не силен. Я реально их не понял на матане. Когда ехал в поезде - читал книжку по рядам... И не въехал в них снова. Может кто-нибудь уже расскажет, как достигать правильной точности?

[type_Oleg]

Сообщение от MooNDeaR

... Может кто-нибудь уже расскажет, как достигать правильной точности?

В том то и дело, что простого ответа нет.
Два варианта:
1) Дана функция , синус, логгарифм, или еще какая, и ее разложение в ряд. Все просто, суммируешь до тех пор, пока разница не станет < E.
2) Дан только ряд. А точное сумма не дана. Ни в виде функции, ни в виде числа. И что делать?
Ведь даже доказать сходимость ряда ( то, что сумма не ∞) - задача не простая. Недаром столько методов придумано, всяких Коши-Даламберов .

Есть конечно, всякие методы оценки, " когда уже хватит суммировать", но сложные довольно.

PS Что утешает, во многих случаях, " видно на глаз ". Это когда знаменатель очень сильно растет, и последующие члены на порядки меньше предыдущих.

[Arigato]

1. Смысл раскладывать в ряд, если уже имеешь ответ?

[type_Oleg]

Сообщение от Arigato

1. Смысл раскладывать в ряд, если уже имеешь ответ?

Смысл чисто методический, например задача по программированию, или по Excel.

[MihalNik]

Сообщение от MooNDeaR

Вот я в рядах не силен. Я реально их не понял на матане. Когда ехал в поезде - читал книжку по рядам... И не въехал в них снова. Может кто-нибудь уже расскажет, как достигать правильной точности?

Общая суть такая: остаток ряда
Коротко: берем какую-нибудь (возможно, "грубую") оценку суммы ряда (из доказательства сходимости он должен быть чем-то ограничен) и навешиваем эту оценку пропуская n первых членов, таким образом можно получать все более точные значения. Т.е. требуется выразить зависимость остаточной суммы от первых n членов (функцию от числа n).
Как уже было замечено - это не так просто, а следует из доказательства сходимости (новой последовательности, составленной из частичных сумм исходной). Есть уже готовые признаки сходимости и для них соответствующие оценки.

Итого алгоритм:

1. Составляем новую последовательность из частичных сумм ряда.
2. Доказываем уже ее сходимость - получаем оценку n-го члена (в общем случае не тривиально).
3. Эта оценка - то что искали, Профит!!!

Путаница была именно в использовании оценки члена исходной последовательности (а надо - члена посл-ти частичных сумм)
Путаница является неминуемым следствием двойной терминологии.
Ряд=последовательность (слово тупо в 6 раз длиннее). Но об этом нигде не говорится, все сильно запущено...(((

Давно пора переписать первую, вводную часть матана и перестать <censored> всем мозг,
заменив эти говно-ряды на записи типа:
{Сумм(1/k), k=1..n} или даже
{Сумм(1/(k=1..n))}
Где уже безо всякой путаницы:
"ряд сумм расходится" (очевидно какая именно посл-ть расходится)
"1/k это член суммы" (а не гибрида со смешанными свойствами от двух посл-тей)
А сумма это член ряда.
В такой записи явно два индекса и сразу очевидно, что речь идет о двух разных посл-тях.

Сообщение от Arigato

1. Смысл раскладывать в ряд, если уже имеешь ответ?

Смысл в том, что ответа не имеешь. Ряд в сумме может быть не просто числом (опять же, что есть конечное число? Это тоже часть ряда),
а параметризованной функцией. Например, как выразить угловую меру (радианы, градусы) через отношения сторон треугольника? Синус и косинус - это абстракции и без сходящегося к ним ряда, рассчитать значение функций в общем случае нетривиально (будет какая-нибудь многоэтажная комбинация с корнями, и те корни опять же нужно вычислять приблизительно).